Kalkulus Spreadsheet: Derivatif dan Integral

Kalkulus bisa menjadi agak rumit ketika Anda pertama kali mempelajarinya. Inilah cara Anda dapat menggunakan program spreadsheet untuk keuntungan Anda. Gunakan ini untuk memeriksa jawaban Anda atau hanya mendapatkan gambaran seperti apa grafik itu. Jika Anda melakukan integrasi maka Anda juga mungkin tahu bahwa ada beberapa fungsi yang tidak memiliki penangkal dasar. Anda dapat menggunakan spreadsheet untuk memvisualisasikan seperti apa fungsi penangkal dari fungsi-fungsi ini.

Hanya sebuah catatan singkat: di sepanjang instruksi ini saya menyebut diri saya sebagai kita. Ini bukan royal kita, aku melakukan proyek ini dengan sekelompok 3 orang lain untuk kelas di UBC, jadi ketika aku mengatakan kita maksudku kita, kelompokku.

Langkah 1: Tetapkan Nilai X Anda

Hal pertama yang Anda perlukan adalah program spreadsheet seperti Excel, Numbers, atau OpenOffice. Jika Anda tidak tahu cara menggunakan salah satu dari program ini, jangan khawatir, ini pembelajaran yang cukup mudah.
Untuk menunjukkan, kita akan menggunakan persamaan y = 2x3 + 6x2-12x + 4. Persamaan yang sama ditunjukkan pada gambar di bawah ini, yang terlihat jauh lebih bagus. Kami memilih persamaan ini karena menemukan turunannya dan antiderivatif akan mudah, sehingga kami dapat memeriksa jawaban kami.
Pertama, Anda ingin meletakkan nilai x Anda di spreadsheet Anda, saya membuat nilai saya dari -5 ke 5. Juga mengatur ukuran langkah Anda, saya mengatur nilai saya di 0, 1. Anda juga bisa menggunakan 0, 01 (itu akan sedikit lebih akurat) tetapi Anda umumnya tidak ingin menjadi lebih kecil. Setelah kolom Anda lebih dari beberapa ribu sel, perlu waktu lama bagi komputer Anda untuk memproses semuanya sekaligus. Untuk komputer saya, di bawah 1000 sel biasanya berfungsi dengan baik.
Masukkan ukuran langkah Anda dalam sel (saya menggunakan A2). Masukkan nilai awal Anda di bagian atas kolom berikutnya, gambar kedua di bawah ini menunjukkan kepada Anda seperti apa bentuknya. Kemudian di sel di bawah ini (B2) ketik "= B1 + $ A $ 2" tanpa tanda kutip, tekan enter. Tanda dolar memberi tahu program spreadsheet Anda untuk referensi A2 terlepas dari sel mana Anda menyalin persamaan. Tempatkan kursor Anda di sudut kanan bawah sel, harus ada kotak hitam kecil, klik dan seret ke bawah, saat Anda menyeretnya, Anda akan melihat angka perlahan semakin besar. Sulit untuk digambarkan, lihat gambar ketiga. Seret kotak ini ke bawah hingga Anda mencapai ujung lain dari rentang X Anda, dalam hal ini 5.

Langkah 2: Hubungkan Fungsi Anda dan Grafikkan

Sekarang cukup colokkan fungsi Anda sehingga setiap sel adalah fungsi dari yang di sebelahnya. Di mana pun Anda memiliki variabel yang tidak terdefinisi (x), masukkan B1, B2, dll, tergantung pada sel mana yang sedang Anda kerjakan. Dalam hal ini, tulis "= 2 * B13 + 6 * B12-12 * B1 + 4" di kotak C1 (gunakan shift + 6 untuk melakukan tanda daya di excel, hanya dapat menginstruksikan segalanya saat saya menggunakannya di sini.) Pemberitahuan bahwa itu fungsi yang sama seperti sebelumnya, kecuali X kita menggunakan B1. Juga, pastikan Anda memasukkan tanda bintang untuk tanda-tanda multiplikasi, masuk akal untuk menulis 2B1, tetapi tidak akan berhasil, tulis dalam 2 * B1.
Selanjutnya, cukup seret kotak Anda ke bawah, seperti langkah sebelumnya. Jika Anda menggunakan excel, Anda juga dapat mengklik dua kali sudut kanan bawah sel Anda, dan itu akan melakukannya untuk Anda.
Sekarang, buat grafiknya. Temukan tombol bagan pada program spreadsheet apa pun yang Anda gunakan. Pastikan Anda membuat XY sebar. Kemudian klik kanan bagan baru Anda dan tekan "pilih data" Anda ingin nilai X Anda (kolom B) menjadi nilai X Anda, dan nilai Y (kolom C) menjadi nilai Y Anda. Tekan OK.
Anda sekarang harus memiliki plot data yang bagus. Ini mungkin akan menjadi kumpulan besar titik-titik, jika Anda mengklik kanan pada titik-titik data pada bagan Anda dan memilih "memformat seri data", Anda dapat mengubahnya menjadi sebuah garis sebagai gantinya (pastikan Anda memeriksa "garis yang dihaluskan" jika Anda memiliki opsi.) Juga, pergi ke gaya penanda dan pilih "tidak ada penanda" mereka hanya menghalangi.
Inilah fungsi Anda, kini hadir hal-hal menyenangkan, turunan, dan integral!

Langkah 3: Bedakan!

Merencanakan turunannya relatif mudah. Turunannya memiliki bentuk "dy / dx", dengan kata lain, perubahan y atas perubahan x. Perubahan dalam x itu mudah, dan itu tidak pernah berubah, itu hanya apa yang kita tulis ke sel A2, yang dalam hal ini adalah 0, 1. Perubahan y hanya akan menjadi perbedaan antara sel, yang tidak sulit untuk dipecahkan. Ketik "= (C2-C1) / $ A $ 2" untuk sel D2, lalu seret ke bawah (atau klik dua kali bagian kanan bawah sel.) Gambar akan memberi Anda ide bagus tentang apa yang harus dilakukan. Tidak akan ada apa pun di sel D1, dengan membedakan kita kehilangan salah satu sel, tetapi jika dx Anda cukup kecil, itu tidak masalah. Pastikan untuk mengetik ini ke D2 bukan D1, dengan cara itu ketika Anda menyeretnya sampai ke sel terakhir tidak akan menampilkan angka yang sangat besar.
Plot ini pada grafik yang sama dengan yang terakhir, gunakan nilai x yang sama seperti sebelumnya. Itu turunan Anda. Anda juga dapat melakukan turunan dengan tangan dan memplotnya untuk memastikan bahwa itu cocok, seharusnya.
Ini bermanfaat jika Anda mengalami kesulitan dalam membedakan suatu fungsi dan Anda ingin melihat seperti apa turunannya. Setelah Anda memahami perbedaan, itu menjadi sangat mudah dan Anda tidak akan benar-benar membutuhkan ini. Integrasi di sisi lain sedikit lebih sulit, ada juga beberapa fungsi yang Anda tidak tahu cara mengintegrasikan. Mari kita lakukan dengan spreadsheet!

Langkah 4: Integrasikan!

Integral pada dasarnya adalah area antara kurva dan sumbu x. Ada juga "area negatif" ketika fungsinya negatif. Integral adalah area bersih di bawah kurva. Itu seharusnya cukup mudah untuk dihitung.
Kami menemukan area menggunakan metode pendekatan yang dikenal sebagai jumlah Riemann. Pada dasarnya kami menggambar banyak persegi panjang yang mendekati bentuk kurva kami. Jika kita menjumlahkan luas setiap persegi panjang, kita tahu (kurang lebih) area di bawah kurva. Gambar di bawah ini bernilai ribuan kata.
Di sel E1 ketik "= C1 * $ A $ 2" dan seret ini ke bawah. Ini adalah "persegi panjang" yang perlu kita tambahkan.
Di sel F1 ketik "= SUM ($ E $ 1: E1)" dan seret ke bawah. Apa yang Anda lakukan di sini adalah menambahkan semua persegi panjang dari sel satu ke sel x. Ini adalah integral yang tidak terbatas. Teruskan dan buat grafik di plot Anda. Semua integral terkait dengan konstanta. Jika Anda mengetikkan "= SUM ($ E $ 1: E1) +200" di langkah terakhir sebagai gantinya, itu akan tetap menjadi integral yang Anda cari. Tidak masalah apa pun konstanta yang Anda gunakan.

Langkah 5: Ayo Lakukan Integral Yang Pasti

Jika Anda mengikuti kursus kalkulus, Anda mungkin akan diminta untuk melakukan beberapa integral yang pasti. Pada dasarnya Anda mengintegrasikan dari satu nilai x ke yang lain. Menggunakan integral yang baru saja Anda buat, memeriksa jawaban Anda bisa sangat mudah. Misalnya, mari kita coba integral yang ditunjukkan di bawah ini. Ini yang baru saja kita rencanakan. Jika Anda sudah tahu cara mengintegrasikan, menyelesaikannya dengan tangan, Anda harus mendapatkan 92, 5.
Untuk memperkirakannya tanpa spreadsheet, kami hanya menulis (di sembarang sel) "= F81-F31". Baris 81 adalah tempat x = 3, baris 31 adalah tempat x = -2. Apa yang Anda lakukan adalah mengambil integral yang tidak terbatas pada x = 3 dan mengurangi integral yang tidak terbatas ketika x = -2 darinya.
Pada spreadsheet ini, jawaban yang kami dapatkan adalah 94, 58. Bukan perkiraan yang buruk, tetapi itu tidak akan memberi Anda poin pada tugas pekerjaan rumah (kecuali jika Anda diminta untuk memperkirakan suatu fungsi menggunakan jumlah terbatas.) Jika Anda menggunakan ukuran langkah 0, 01 Anda mendapatkan 92, 70, bahkan lebih akurat. Menggunakan ukuran langkah 0, 001 Anda mendapatkan 92, 52, yang bahkan lebih akurat. Mencoba ukuran langkah yang lebih kecil hanya akan menggelikan, akan butuh beberapa ratus ribu sel, komputer Anda perlu beberapa saat untuk mengetahuinya.
Saya telah melampirkan spreadsheet demo di bawah ini. Nikmati.

Lampiran

  • demo.xls Unduh

Artikel Terkait