Bagaimana Faktor

Apakah melihat sejumlah atau ekspresi disertai dengan instruksi, "Faktor sepenuhnya, " menimbulkan rasa takut ke dalam hati Anda? Berharap Anda memperhatikan aljabar? Nah, instruksi ini akan mengajarkan Anda bagaimana memfaktorkan angka apa pun, atau ekspresi yang memenuhi syarat seperti Ax ^ 2 + Bx + C.

Langkah 1: Nomor Anjak

Pertama, apa faktornya?

"Faktor bilangan alami" adalah himpunan lengkap dari bilangan bulat, di mana jika Anda mengalikan satu angka di himpunan dengan himpunan lainnya, Anda mendapatkan nomor yang menjadi faktor.

Misalnya, angka 5 memiliki dua faktor: 1, dan 5. Angka 6 memiliki empat faktor: 1, 2, 3, dan 6.

"Faktor integer" termasuk angka negatif.

Angka 5 dalam kasus ini akan memiliki empat faktor: -5, -1, 1, dan 5. 6 akan memiliki delapan faktor: -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, dan 6.

(Bilangan alami adalah bilangan tanpa pecahan, mulai dari 1, 2, 3, 4, 5 ... sampai tak terhingga. Bilangan bulat adalah bilangan alami, serta rekan negatifnya dan 0, atau ...- 5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...)

Angka anjak dengan himpunan bilangan alami sederhana. Setiap angka setidaknya memiliki dua faktor. Untuk menemukan faktor-faktor lain, mulailah membagi angka mulai dari dua dan lanjutkan sampai Anda mencapai angka itu dibagi dengan 2. Setiap hasil bagi yang tidak memiliki sisa berarti bahwa baik pembagi dan hasil bagi adalah faktor-faktor dari nomor itu.

Katakanlah Anda perlu memfaktorkan angka 9. Anda tidak dapat membagi dengan dua secara merata, jadi kami lewati saja. (Perhatikan solusinya, 4.5, jadi Anda tahu kapan harus berhenti nanti.) 9 dapat dibagi 3, jadi tambahkan 3 ke daftar faktor Anda. Tingkatkan cara Anda sampai Anda membagi 5 (9 dibagi 2, dibulatkan). Anda akan berakhir dengan 1, 3, dan 9 sebagai daftar faktor.

Saat menghitung angka dalam bilangan bulat, Anda bisa menambahkan ekuivalen negatif dari solusi Anda dari anjak bilangan alami masuk. Jadi, 9 akan memiliki faktor -9, -3, -1, 1, 3, dan 9.

Anjak bilangan negatif hanya dapat dilakukan dengan anjak bilangan bulat. Solusinya sama dengan Anda mendapatkan anjak versi positif dari nomor tersebut. -9 memiliki faktor -9, -3, -1, 1, 3, dan 9.

Nol adalah satu-satunya bilangan bulat yang memiliki jumlah faktor tak terbatas, dan satu-satunya yang memiliki nol sebagai faktor.

Langkah 2: Memfaktorkan GCF Dari Ekspresi

Dan tidak, maksud saya bukan memfaktorkan ekspresi bos Anda ketika Anda mengatakan kepadanya bahwa Anda secara tidak sengaja membanjiri ruang istirahat dengan kopi.

Ekspresi aljabar terdiri dari angka, yang disebut koefisien, dan variabel, yang dapat dinaikkan menjadi kekuatan. Dalam ekspresi x ^ 2 + 6x + 8, 1 adalah koefisien x ^ 2, variabel. (Jika Anda tidak melihat koefisien sebelum variabel, itu adalah 1, karena x ^ 2 dikalikan dengan 1.) Demikian juga, 6 adalah koefisien x ^ 1. (Variabel bebas dinaikkan ke kekuatan satu.) 8 disebut konstanta - tidak dikalikan dengan variabel. (Anda dapat memvisualisasikannya dikalikan dengan x ^ 0, dan angka apa pun yang dinaikkan ke daya 0 sama dengan 1).

Untuk memfaktorkan suatu ekspresi, Anda harus mulai dengan memfaktorkan GCF, atau Greatest Common Factor. Sebutkan faktor-faktor dari setiap komponen ekspresi. Di sini kami tertarik untuk menemukan faktor bilangan alami.

Ekspresi x ^ 2 + 6x + 8 akan memiliki faktor-faktor yang terlihat seperti ini:

x ^ 2: 1
6x: 1, 2, 3, 6
8: 1, 2, 4, 8

Jika Anda melihat ketiga daftar itu, hanya ada satu hal yang semuanya memiliki kesamaan, yaitu nomor satu. Ini berarti tidak ada koefisien lebih besar dari satu untuk faktor keluar.

Kemudian Anda melihat kekuatan eksponen. 2, 1, dan 0. Jika Anda melihat nol, ekspresi tidak dapat diperhitungkan oleh variabel.

Ungkapan ini siap untuk langkah selanjutnya.

Berikut adalah contoh yang memang memiliki GCF yang perlu difaktorkan: 2x ^ 3 + 18x ^ 2 + 10x. Faktor masing-masing bagian:

2x ^ 3: 1, 2
18x ^ 2: 1, 2, 3, 6, 9, 18
10x: 1, 2, 5, 10

Di sini kita dapat melihat bahwa bagian-bagian memiliki 1 dan 2 yang sama. Kami menemukan jumlah terbesar, 2.

Kemudian kita melihat kekuatan eksponen: 3, 2, dan 1. Temukan angka terkecil yang bukan 0, dalam hal ini nomor satu. Itu berarti x ^ 1, atau cukup x, dapat dibagi ke dalam ekspresi.

Lipat gandakan angka dan variabel menjadi 2. Kemudian bagi setiap bagian dari ekspresi dengan 2x.

2x ^ 3 / 2x = x ^ 2
18x ^ 2 / 2x = 9x
10x / 2x = 5

Ekspresi dengan faktor keluar GCF adalah 2x (x ^ 2 + 9x + 5). Perhatikan bahwa Anda harus meletakkan ekspresi factored di dalam tanda kurung dan menulis GCF di sebelahnya.

Langkah 3: Anjak Binomial

Binomial adalah ekspresi dengan hanya dua istilah yang ditambahkan.

2x ^ 2 - 4x adalah contoh binomial. (Anda dapat mengatakan bahwa 4x negatif sedang ditambahkan ke 2x2.)

Pertama, faktor keluar dari GCF, 2x. Anda memiliki 2x (x - 2). Ini sejauh binomial ini bisa berjalan. Binomial apa pun dalam bentuk 1x +/- n tidak dapat diperhitungkan lebih lanjut.



Ketika Anda memiliki binomial yang merupakan variabel dengan eksponen genap, ditambahkan ke bilangan negatif yang memiliki akar kuadrat yang merupakan bilangan alami, itu disebut kuadrat sempurna.

x ^ 2 - 4 adalah contohnya. Ini dapat dinyatakan sebagai produk dari akar kuadrat dari variabel ditambah akar kuadrat dari konstanta positif, dan akar kuadrat dari variabel dikurangi akar kuadrat dari konstanta positif.

Hah?

Pada dasarnya, ambil akar kuadrat dari variabel. Anda akan berakhir dengan x. Kemudian root kuadrat 4. Anda akan berakhir dengan 2. Jika Anda menambahkannya, Anda akan mendapatkan x + 2. Kurangi mereka, dan Anda akan mendapatkan x-2. Kalikan keduanya, dan Anda akan mendapatkan (x + 4) (x-4). Anda baru saja memperhitungkan faktor kuadrat sempurna.

Jika Anda mengalikan (x + 2) (x-2) bersama-sama menggunakan FOIL, Anda akan kembali dengan x ^ 2-4.

(FOIL: First Outer Inner Last, cara mengalikan dua binomial bersama-sama. Kalikan suku-suku pertama dari binomial (x dan x dalam kasus ini), lalu dua terluar (x dan -2), kemudian dua dalam (2 dan x), lalu istilah terakhir (2 dan -2), lalu tambahkan semuanya. x ^ 2 - 2x + 2x - 4 = x ^ 2 - 4.)

Ini bisa dilakukan lagi jika salah satu binomial adalah kuadrat sempurna, seperti dalam contoh ini:

x ^ 4 - 16 = (x ^ 2 + 4) (x ^ 2 - 4) = (x ^ 2 + 4) (x + 2) (x - 2).

Ini dapat diperhitungkan lebih lanjut jika Anda memasukkan angka irasional, lihat langkah [9].



Cara memfaktorkan binomial dalam bentuk (x ^ 3 + b ^ 3):

Cukup colokkan ke (a - b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2). Misalnya, (x ^ 3 + 8) = (x - 2) (x ^ 2 + 2x + 4).

Cara memfaktorkan binomial dalam bentuk (x ^ 3 - b ^ 3):

Tancapkan ke (a + b) (a ^ 2 - ab + b2). Perhatikan bahwa dua tanda pertama dalam ekspresi diaktifkan.

(x ^ 3 - 8) = (x + 2) (x ^ 2 - 2x + 4).

Kedua contoh ini dapat diperhitungkan lebih lanjut setelah Anda mempelajari cara memfaktorkan faktor trinomial pada langkah [4].

Langkah 4: Memfaktorkan Trinomial

Trinomial: Ekspresi dengan tiga istilah ditambahkan bersama-sama. 2x ^ 2 + 6x - 8 akan menjadi demonstran yang beruntung.

Pertama, faktor keluar dari GCF. Ini akan SELALU menjadi langkah pertama Anda ketika memfaktorkan ekspresi APA SAJA.

2 (x ^ 2 + 3x - 4)

Jika Anda memiliki kekuatan x lebih dari dua setelah memperhitungkan GCF, lanjutkan ke langkah lain.

Buat daftar faktor bilangan bulat konstanta. Anda akan menginginkan dua pasangan mereka seperti ini:

-4, 1
-2, 2
-1, 4

Anda ingin menemukan salah satu dari ini bahwa ketika dijumlahkan sama dengan koefisien istilah kedua, 3. -1 + 4 = 3. Dari sini, tuliskan dua set tanda kurung dengan dalam x:

(x) (x)

Lalu tempelkan dua istilah yang berfungsi ke dalam tanda kurung.

(x - 1) (x + 4)

Jangan lupa untuk menambahkan kembali GCF.

2 (x - 1) (x + 4)

Begitulah cara Anda memfokuskan trinomial.

Ini satu lagi: 2x ^ 2 + 11x - 6.

Ada twist saat ini: Koefisien x ^ 2 bukan 1. Ini berarti bahwa kita akan menambahkan langkah lain:

Daftar faktor konstanta, -6, serta koefisien x2, 2.

-6, 1
-3, 2
-2, 3
-1, 6

1, 2

Sekarang, Anda ingin mengalikan masing-masing faktor di sisi kiri dengan 1, dan di kanan dengan 2. Ulangi dengan mengganti 1 dan 2. Anda akan berakhir dengan

-6, 2
-3, 4
-2, 6
-1, 12
-12, 1
-6, 2
-4, 3
-2, 6

Temukan pasangan yang menambahkan hingga koefisien jangka menengah, dalam hal ini, -1 + 12 = 11. Siapkan tanda kurung:

(x) (x)

Masukkan angka asli (yang Anda miliki sebelum mengalikan dengan 1 dan 2):

(x - 1) (x + 6)

Kemudian tempelkan satu dan dua sebagai koefisien x sehingga ketika Anda mengalikan istilah luar dan dalam dan menambahkannya bersama-sama, Anda akan mendapatkan 11.

(2x - 1) (x + 6)

Jika Anda memeriksa pekerjaan Anda dengan FOILing out, Anda akan mendapatkan 2x ^ 2 + 11x - 6, ekspresi yang Anda mulai. Selamat!

Langkah 5: Memfaktorkan Trinomial dengan Pergantian

9x ^ 4 + 45x ^ 2 + 14.

Tidakkah Anda berpikir ungkapan ini akan lebih mudah difaktorkan dengan angka yang lebih kecil dan kekuatan variabel?

Anda dapat mengganti angka yang lebih rendah dan kekuatan variabel seperti:

Set n = 3x ^ 2 (GCF dari kekuatan variabel, dan akar kuadrat dari GCF dari koefisien angka dikalikan dengan kekuatan x). Kemudian gantilah dengan membagi istilah-istilah dalam ekspresi asli dengan n.

n ^ 2 + 15n + 14.

Sekarang Anda dapat dengan mudah memperhitungkan faktor.

(n + 14) (n +1).

Tempelkan 3x ^ 2 kembali ke ekspresi di mana n's.

(3x ^ 2 + 14) (3x ^ 2 + 1).

Langkah 6: Persamaan Kuadratik

Jika tidak ada kombinasi yang Anda dapatkan (dari langkah 4) yang benar, Anda harus menggunakan persamaan kuadratik.

(-b +/- sqrt (b ^ 2 - 4ac)) / 2a

(sqrt (#) = akar kuadrat dari #)

Dimana trinomial memiliki bentuk kapak ^ 2 + bx + c.

Jadi, jika Anda ingin menggunakan rumus kuadratik dengan 1x ^ 2 + 3x + 2, Anda harus memasukkan seperti:

(-3 +/- sqrt (3 ^ 2 - 4 (-2) (1)) / 2.

Ini menyederhanakan ke (-3 +/- sqrt 17) / 2. Faktor 1x ^ 2 + 3x + 2 adalah (x - ((-3 + sqrt 17) / 2)) (x - ((-3 - sqrt 17) / 2)). (Anda menempelkan jawaban di sebelah kanan "x -". Lebih jauh tentang mengapa itu berhasil, pada langkah [8].)

Langkah 7: Memfaktorkan Polinomial dengan Mengelompokkan

Terkadang Anda akan mendapatkan empat istilah atau lebih, yang terlihat seperti ini:

2x ^ 2 + 6x ^ 3 + 5x ^ 7 + 15x ^ 8

Tidak ada koefisien umum, dan memfaktorkan x ^ 2 tidak banyak membantu. Di sinilah Anda akan menggunakan pengelompokan untuk faktor.

Pengelompokan berarti memfaktorkan GCF hanya dua istilah ungkapan. Anda dapat melihat bahwa 2x ^ 2 + 6x ^ 3 dan 5x ^ 7 + 15x ^ 8 keduanya dapat membuat GCF dikeluarkan. Lakukan itu.

2x ^ 2 (1 + 3x) + 5x ^ 7 (1 + 3x)

Perhatikan bahwa ada faktor umum, 1 + 3x. Ungkapan ini dapat diulang menjadi (2x ^ 2 + 5x ^ 7) (1 + 3x). Itu jawabannya.

Perhatikan bahwa (2x ^ 2 + 5x ^ 7) (1 + 3x) dapat diperhitungkan lebih lanjut dengan memasukkan x ^ 2 dari binomial pertama: x ^ 2 (2 + 5x ^ 5) (1 + 3x).

Langkah 8: Anjak Polinomial oleh Divisi Sintetis

Kadang-kadang Anda akan mendapatkan polinomial beastly yang terlihat seperti mereka tidak punya harapan.

3x ^ 3 + 8x ^ 2 - 9x + 2 adalah contohnya. Anda tidak dapat menggunakan pengelompokan untuk memfaktorkan GCF dengan cara yang akan menghasilkan faktor umum.

Untuk menjelaskan bagaimana ini bekerja, Anda perlu tahu bahwa ketika menyelesaikan persamaan dengan memfaktorkan, Anda perlu mengatur hal yang difaktorkan keluar sama dengan 0 dan mencari tahu apa yang X sama dengan sehingga itu sama dengan nol. Misalnya, 0 = (x - 2) (x + 1). Solusinya adalah 2 dan -1.

Jika polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, setiap nol, atau solusi, memiliki bentuk P / Q, di mana P = faktor dari istilah konstan, dan Q = faktor dari koefisien terkemuka.

Pada dasarnya, jika Anda mendaftar semua faktor konstanta, dan membaginya dengan faktor koefisien terkemuka (koefisien di sebelah variabel dengan daya tertinggi) di setiap kombinasi, Anda akan mendapatkan daftar solusi rasional yang mungkin. Bagaimana hal ini membantu Anda menjadi faktor? Jika Anda mendapatkan 2 sebagai solusi, Anda dapat bekerja mundur dan mengatakan bahwa salah satu faktor dari persamaan itu adalah (x - 2).

Jadi, kembali ke contoh:

Faktor 2: +/- 1, +/- 2 (Anda harus menyertakan negatif)
Faktor 3: +/- 1, +/- 3

P / T: +/- 1, +/- 1/3, +/- 2, +/- 2/3

Setelah Anda memiliki daftar, Anda akan menggunakan sesuatu yang disebut divisi sintetis untuk melihat mana dari P / Q yang sebenarnya merupakan solusi.

Pembelahan sintetis adalah cara membagi polinomial dengan binomial dari bentuk xk. Saya tidak akan menjelaskan cara kerjanya, tetapi hanya menunjukkan bagaimana menggunakannya untuk anjak piutang.

Pertama, letakkan salah satu P / Q Anda di dalam kotak kecil atau set tanda kurung, kemudian buat daftar koefisien dan konstanta dalam baris di sebelahnya. Jika polinomial melompati kekuatan (x ^ 2 + 2) maka Anda perlu menambahkan 0 untuk tempat x1 seharusnya.

(Ekspresi: 3x ^ 3 + 8x ^ 2 - 9x + 2)

(Abaikan tanda bintang, mereka digunakan sebagai pengganti. Lebih baik, lihat gambar pertama.)

(1) 3 8 -9 2



Biarkan ruang kosong, gambar garis, lalu turunkan suku pertama, 3, ke bawah.

(1) 3 8 -9 2


*** 3

Kemudian gandakan dengan nomor di dalam kotak dan letakkan di bawah istilah berikutnya.

(1) 3 8 -9 2
****** 3

*** 3

Tambahkan 8 + 3

(1) 3 8 -9 2
****** 3

*** 3 11

Berkembang biak.

(1) 3 8 -9 2
****** 3 11

*** 3 11

Menambahkan.

(1) 3 8 -9 2
****** 3 11

*** 3 11 2

Berkembang biak.

(1) 3 8 -9 2
****** 3 11 2

*** 3 11 2

Menambahkan.

(1) 3 8 -9 2
****** 3 11 2

*** 3 11 2 4

String angka, 3, 11, 2, 4, memberi Anda ekspresi dengan satu derajat lebih sedikit (jika eksponen tertinggi dalam ekspresi asli adalah 3, eksponen tertinggi dalam hasil bagi adalah 2) dan sisanya.

(Ekspresi Asli: 3x ^ 3 + 8x ^ 2 - 9x + 2)

Quotient: 3x ^ 2 + 11x + 2 Sisa 4

Jika Anda mendapatkan sisa, maka angka dalam kotak yang Anda coba bukanlah solusi untuk persamaan. Silangkan nomor itu dari daftar Anda, dan coba lagi dengan nomor lain. Cukup banyak tebakan dan periksa.

Akhirnya, Anda akan mencoba 1/3 dan Anda akan menemukannya terbagi dengan bersih. Anda akan berakhir dengan:

(x - 1/3) (3x ^ 2 + 9x - 6).

Sekarang Anda memiliki trinomial kekuasaan dua, Anda dapat kembali dan memfaktorkannya. Jangan lupa untuk mengambil GCF dulu! Anda memiliki (x - 1/3) (3) (1x ^ 2 + 3x + 2). Faktor keluar trinomial melalui persamaan kuadrat (persamaan ini digunakan sebagai contoh pada langkah [6], jadi lihat kembali jika Anda perlu). Anda akan berakhir dengan (3) (x - 1/3) (x - ((-3 + sqrt 17) / 2)) (x - ((-3 - sqrt 17) / 2)). Sangat jelek, tapi begitulah cara Anda melakukannya.

Langkah 9: Anjak Lebih Lanjut: Irasional dan Imaginaries

Angka binomial tanpa akar sempurna yang dikurangkan dari variabel kuadrat seperti (x ^ 2 - 2) dapat diperhitungkan lebih lanjut dengan menggunakan akar kuadrat. (x + sqrt (2)) (x - sqrt (2)). Ini membawa set angka yang tidak rasional.

Binomial dengan angka yang ditambahkan ke variabel kuadrat seperti (x ^ 2 + 1) dapat diperhitungkan lebih lanjut dengan menggunakan angka imajiner. "i" adalah akar kuadrat dari yang negatif. Jadi (x ^ 2 +1) dapat difaktorkan ke dalam (x + i) (x - i). Ini membawa set angka imajiner.

Langkah 10: Huzzah!

Anda sekarang tahu bagaimana menghitung angka atau ekspresi apa pun yang mungkin pernah Anda temui. Bagus untukmu!

Ada juga program di luar sana yang dapat melakukan ini untuk Anda. Jika Anda google "polyroot" Anda akan mendapatkan tautan ke beberapa program untuk komputer Anda. Kalkulator grafik HP 39 / 40gs memiliki fungsi polyroot bawaan. Jika Anda memiliki kalkulator grafik TI-89, kalkulator ini juga memiliki fungsi anjak piutang. Kalkulator grafik TI model sebelumnya tidak memilikinya, tetapi mereka memiliki program anjak piutang. Google "ti quadratic solver" untuk program yang dapat Anda transfer ke kalkulator grafik TI Anda.

Anda juga dapat menemukan solusi nyata untuk persamaan kuadrat dengan membuat grafiknya dan menggunakan fungsi 'nol' untuk menghitung di mana grafik memotong sumbu-x. Anda kemudian dapat menempelkan angka itu di sebelah "x -".

Penafian: Sebagian besar kelas matematika melarang kalkulator yang dapat menyebabkan faktor, atau membuat Anda menghapus memori (bersama dengan program) kalkulator yang dapat diprogram. Juga, jika ada solusi yang memiliki akar non-alami di dalamnya, Anda akan mendapatkan serangkaian desimal panjang yang tidak cocok sebagai jawaban. Cukup pelajari cara melakukannya dengan tangan.

Artikel Terkait